Merkezi dağılım ölçüleri verilerin yığılma gösterilen noktadan ne kadar uzakta olduklarını, nasıl bir dağılım gösterdiklerini belirten istatistikleridir. Bir grubu belirli bir özelliği yönünden yeterince tanıyabilmek ve gruplar arasında çok yönlü karşılaştırmalar yapabilmek için merkezi eğilim ölçüleri yeterli değildir. Bu durumda merkezi dağılım ölçülerine gereksinim duyulur. Başlıca dağılım ölçüleri şunlardır Þ

A) Ranj (Puan Genişliği)

B) Standart Sapma (Kayma)

A) RANJ (Puan Genişliği) = Bir dağılımda en yüksek puan ile en düşük puan arasındaki farktır. Ranj; bir veri grubunun hangi aralıkta değişkenlik gösterdiğini belirten istatistiktir. Ranj, puan dağılımları hakkında kaba bilgi verir.

ÖRNEK Þ Puanları 90, 85, 75, 70, 55, 40 olan bir dizi düşünelim. Bu dizinin ranjı =

50 dir

 90 ─ 40 =

 

B) STANDART SAPMA (KAYMA) (SS) = Standart sapma bireyin ya da grubun notlarının aritmetik ortalamaya olan farkını (uzaklığını yada yakınlığını) gösteren sayısal değerdir. Bir dizi ölçümün gösterdiği değişimin en güvenilir ölçüsü standart sapmadır. Standart sapma istatistikte en çok kullanılan ölçüdür.

 Gruplandırılmış verilerde standart sapma şöyle hesaplanır =

→ Dağılımın aritmetik ortalaması bulunur = ()

→ Her ölçümün aritmetik ortalamadan farkı alınır = (Xi-)

→ Farkların kareleri alınır ve toplanır = (²)

→ Bulduğumuz toplamı elaman sayısına yani ( N ─ 1 ) e böleriz

→ Çıkan sonucun karekökünü alırız.

 Bu açıklamayı formülle şu şekilde gösteririz = S = 

Standart kaymanın alması gereken değer her bir istatistiksel hesaplamada değişkenlik göstermektedir. Kesin olarak standart kayma şu sayıda olmalıdır şeklinde bir şey söylenemez.

Standart sapma normal dağılım üzerinde aritmetik ortalamaya . göre olan -3 ve +3 arasında yer alan dağılıma göre şu şekilde gösterilir: Þ

 

 

 

 

Bir dağılımda aritmetik ortalama (60, standart sapma 3 ise dağılım doğrusu şu şekilde gösterilir?Þ

 

Standart Sapmaya Dayanarak Şu Yorumu Yapabiliriz Þ

 * Bir Dağılımda Standart Sapma KÜÇÜKSE =

   → Öğrencilerin öğrenme düzeyi birbirine yakın,

 → Öğrenciler arası farklılaşma az

 → Homojen yapı vardır yorumları yapılabilir.

 * Eğer bir dağılımda Standart Sapma BÜYÜKSE =

 → Öğrencilerin öğrenme düzeyleri birbirinden uzak,

 → Öğrenciler arası farklılaşma fazla,

 → Heterojen yapı vardır yorumları yapılır.

ÖRNEK Þ

  TESTLER  ARİTMETİK ORT.  MOD ORTANCA  STANDART SAPMA

A) I  65  75  70  7

B) II  35  55 40  6

C) III  40  40 40  8

D) IV  40  25 30  9

E)  V   60  40 45  16

 

 Yukarıdaki tabloya göre öğrenciler arasında farklılaşma en çok hangi testtedir ?

Çözüm Þ Standart sapması büyük olan dağılımda bireyler arası farklılaşmada büyüktür. Standart sapma büyüdükçe benzerlik azalır. Dolayısıyla farklılaşmanın en çok olduğu test standart sapmanın en yüksek olduğu 5. testtir. Doğru cevap E şıkkıdır.

ÖRNEK Þ Aşağıdaki tabloda bir öğrencinin dört farklı başarı testinden aldığı puanlar ile testlerin ortalaması ve standart sapması verilmiştir.

 

  1. TEST 2. TEST 3. TEST 4. TEST

Öğrencinin puanı  =   60  63  67  90 

Testin Ortalaması  =  50  60  55  50

Testin Standart Sapması =  10  1  12  40

 

Bu öğrencinin başarı düzeyinin en yüksek olduğu test hangisidir?

ÇÖZÜM = 1. Test için Þ Aritmetik ortalama = 50

  Standart Sapma = 10

  Öğrencinin puanı = 60

1. Testte öğrencinin puanı 1. standart sapma bölgesindedir.

  2. Test için Þ Aritmetik Ortalama = 60

  Standart Sapma = 1 

  Öğrencinin Puanı = 63

2. Testte öğrencinin puanı 3. standart sapma bölgesindedir.

  3. Test için Þ Aritmetik Ortalama = 55

  Standart Sapma = 12

   Öğrencinin Puanı  = 67

3. testte öğrencinin puanı 1. standart sapma bölgesindedir.

 4. Test için Þ Aritmetik Ortalama = 50 

  Standart Sapma = 40  

  Öğrencinin puanı  = 90 

 

4. Testte öğrencinin puanı 1. standart sapma bölgesindedir.

Standart sapma bölgesi olarak ortalamadan en çok uzaklaşılan bölge o testte daha başarılı olduğunun göstergesidir. Öyleyse öğrencinin başarı düzeyinin en yüksek olduğu test 2. testtir.

 

ÖRNEK Þ

DERSLER		S.S
TÜRKÇE	70	3
MATEMATİK	71	4
COĞRAFYA	70	4
FİZİK	80	5
KİMYA	75	4

 

A) Hangi derste ORTALAMA ÖĞRENME düzeyi en yüksektir ?

B) Hangi derste ORTALAMA ÖĞRENME düzeyi en düşüktür ?

ÇÖZÜM: Þ a) Ortalama öğrenme düzeyinin yüksek olmasını gösteren en önemli gösterge ARİTMETİK ORTALAMANIN yüksek olmasıdır. Ancak aritmetik ortalamalar EŞİTSE o zaman standart sapması en küçük olan derste ortalama öğrenme düzeyi en yüksektir. Buna göre aritmetik ortalamanın en yüksek olduğu fizik dersinde ORTALAMA ÖĞRENME düzeyi en yüksektir.

 b) Aritmetik ortalaması en düşük olan derste ortalama öğrenme düzeyi en düşüktür. Ancak yukarıdaki gibi aritmetik ortalamalar birbirine eşitse bu durumda standart sapması büyük olan dersin ortalama öğrenme düzeyi en düşüktür. Dolayısıyla COĞRAFYA dersinde ortalama öğrenme düzeyi en düşüktür.

 

STANDART PUANLAR

 Standart puan = Gözlenen puanların ortalamadan olan farklarının standart sapma cinsinden belirtilmesidir. İki farklı dersten alınan puanların veya farklı kategorilerden elde edilen ölçümlerin birbirleriyle karşılaştırılması hatalı olur. Karşılaştırmanın yapılabilmesi için Z ve T puanlarının hesaplanması gerekir. Bu puanlar; araştırmalarda sıkça karşılaşılan şu tür soruları cevaplandırma imkânı sağlar Þ

 → Üzerinde birden çok gözlem yapılan bir öğrenci (birden çok test alan bir öğrenci) aldığı puana göre hangi testte daha başarılıdır ?

 → Birden çok gözlemden aldıkları puanlara göre, birçok kişiden hangisi daha başarılıdır ?

 → Birden çok gözlemden aldıkları puanlara göre bir çok kişinin başarı sırası nedir ?

A) Z PUANI = Z puanlarının ortalaması sıfır (=0) Standart sapması (S = 1,00) kabul edilir. Herhangi bir kişinin testten almış olduğu puanı Z puanına dönüştürerek verilen bir puanın ortalamanın ne kadar altında veya üstünde kaldığını belirleyebiliriz. Z puanını hesaplayabilmek için şu formülden yararlanırız Þ

 FORMÜL = Z =  Z: Z Puanı

  X: Herhangi bir kişinin puanı

  : Puanlar dağılımının ortalaması

  S: Dağılımın standart sapması

NOT Þ

ÖRNEK =

DERSİN ADI ÖĞR. ALMIŞ OLDUĞU PUAN ARİTMETİK ORTALAMA STANDART SAPMA

GELİŞİM  75   60  12

ÖĞRENME  80  65  10

ÖLÇME  65  65  5

YÖNTEM  90  80  4

PROG.GEL.  60  50  6

REHBERLİK   85   60  8

 

 Öğrencilerin en başarılı ve en başarısız oldukları dersler hangileridir ?

Çözüm Þ Böyle bir yorum yapabilmek için Z puanının hesaplanması gerekir ?

 Z =

 * GELİŞİM İÇİN =

BULUNAN Z DEĞERLERİNDEN EN BÜYÜK DEĞER ÖĞRENCİLERİN EN BAŞARILI OLDUĞU DERSİ GÖSTERİRKEN EN KÜÇÜK DEĞER ÖĞRENCİLERİN EN BAŞARISIZ OLDUĞU DERSİ GÖSTERİR.

 * ÖĞRENME İÇİN =

 * ÖLÇME İÇİN = Þ EN DÜŞÜK Z PUANI

 * YÖNTEM İÇİN =

 * PROG. GEL. İÇİN =

* REHBERLİK İÇİN =Þ EN BÜYÜK Z PUANI

 

B) T PUANI = T - standart puanlarının aritmetik ortalaması () 50, standart sapması 10 kabul edilir. T standart puanlarının formülü şöyledir.

T= 50+

Eğer önceden Z puanları hesaplanmış ise Z puanlarını T puanına dönüştürmek daha kolaydır. Bu durumda şu formül kullanılır =

 T = 50 + 10 . Z

NOT Þ Z puanlarının NEGATİF (-) çıkması, sıfır (0) değerini alması gibi olumsuzluklardan dolayı Z puanı T puanına dönüştürülür. Sonuç olarak aynı olmasına karşın T puanları pozitif değerler aldığından anlaşılması ve yorumlanması daha kolaydır.

NOT Þ Bir öğrencinin birden fazla ders içerisindeki veya birden fazla öğrenci içerisindeki başarı derecesi sorulduğu zaman mutlaka Z ve T puanı hesaplamalarından birisi yapılmalıdır.

Örnek :

	MAT.	FİZİK	KİMYA
ÖĞR.PUANI	60	70	80
	50	60	40
S	10	20	10

 

 

A) Matematik dersinin Z ve T puanları kaçtır ?

ZMAT = T= 50+10.Z= TMAT= 50+10.1 = 60

B) Fizik dersinin Z ve T puanları kaçtır ?

ZFİZİK = =0,50 T= 50+10.Z= TFİZİK= 50+10.0,50= 55

C) Kimya dersinin Z ve T puanları kaçtır ?

ZKİMYA = T= 50+10.2 = TFİZİK= 50+10.4= 90

 

D) EN BAŞARILI OLUNAN DERS HANGİSİDİR ?

 Z ve T puanının en yüksek olduğu ders olan KİMYA dersi en başarılı olunan derstir.