Merkeze yığılma ölçüleri puanların nerelerde toplandığını açık ve kesin olarak ortaya çıkarmada kullanılır. Puan dağılımında verilerin hangi puan etrafında toplandığı hakkında bilgi veren ve grubunu özetleyen değerlerdir. Merkeze YIĞILMA ÖLÇÜLERİ MOD (Tepedeğer), MEDYAN (Ortanca), ARİTMETİK ORTALAMALARDIR.

 A) ARİTMETİK ORTALAMA = Bir testin aritmetik ortalaması, teste giren öğrencilerin almış oldukları puanların toplamının testi alan öğrenci sayısına bölünmesiyle bulunur. Vasat ölçüleri arasında en istikrarlı alanı ARİTMETİK ortalamadır. ORTANCA ve MOD üzerinde dağılımdaki herhangi bir puanın etkisi az iken, ARİTMETİK ORTALAMADA her bir puan sonuç üzerinde etkilidir.  ile gösterilir. Şöyle gösterilir Þ (hesaplanır)

 Teste giren öğrencilerin Puan Toplamı

= —————————————————

 Teste giren öğrenci sayısı

 

ÖRNEK Þ Bir sınıfta 10 öğrenci olsun. Öğrencilerin fizik dersinden aldıkları puan sırasıyla 55, 70, 75, 40, 50, 45, 80, 90, 35, 60 ise bu sınıfın aritmetik ortalaması kaçtır ?

  55+70+75+40+50+45+80+90+35+60

ARİTMETİK ORTALAMA= ———————————————— = 60

 10

 

ÖNEMLİ *** Þ Bir dağılımda aritmetik ortalamanın büyük olması durumunda ORTALAMA ÖĞRENME DÜZEYİ yada GRUBUN (Mutlak) BAŞARI DÜZEYİ YÜKSEKTİR açıklaması yapılır. Yani aritmetik ortalama arttıkça öğrenme artar.

ÖRNEK Þ

 

 Puan dağılımının aritmetik ortalaması kaçtır ?

Aritmetik Ortalama=  

 =10,42

 

AĞIRLIKLI ORTALAMA Þ Bazı durumlarda puanların ortalamaya katkılarının farklı olması gerekebilir. Farklı ağırlıklar verilerek hesaplanan ortalamaya “ağırlıklı ortalama” denir. Örneğin: lisede başarı notu hesaplama da ağırlıklı ortalama kullanılır. Her bir dersin notu, haftalık ders saati ile çarpılarak bu çarpımların sonuçları toplanır ve ders saati toplamına bölünür.

Toplam Kredi

Puan x Kredi

 Ağırlıklı Ortalama =  

 

 

 

 

 

ÖRNEK Þ Bir ilk öğretim öğrencisinin aldığı dersler ve derslerin kredileri aşağıdaki gibidir.

DERS	KREDİ	NOT
Matematik	4	3
Türkçe	4	5
Fen Bilgisi	3	4
Beden Eğ.	2	5
Yabancı Dil	2	3

Bu öğrencinin ağırlıklı ortalaması kaçtır ?

 

 

 

 

 

 

Ağırlıklı Ortalama== = 4

 B) ORTANCA (MEDYAN) = Büyüklük sırasına göre düzenlenmiş puanlar dizisinin tam ortasına düşen puana ortanca (medyan) denir. Ölçümlerin yarısı bu değerin üstünde diğer yarısı da altında yer alır. Ölçüm sonuçlarının sayısının tek olması, çift olması ortancanın hesaplanma yöntemini değiştirir.

* Bir dizi ölçümde ölçüm sayısı (N) tek ise,

ÖRNEK Þ 10, 3, 12, 8, 18, 20, 9 sayılarının ORTANCA değerini bulunuz ?

Öncelikle bu veri grubu sıraya konur. 3, 8, 9, 10, 12, , 12, 18, 20

 

	ORTANCA

 

 

Veya şöyle de bulabiliriz Þ n = 7 ise formül ise = = 4 sayı bize ortancayı verir.

 * Bir dizi ölçüm sayısı (N) çift ise, ölçüm değerleri sağdan ve soldan eşit oranda ayrıldıktan sonra ortada kalan 2 değer toplanarak ikiye bölünür ve ORTANCA bulunur.

55, 65,

ÖRNEK Þ 40, 80, 45, 55, 65, 75 sayılarının ortanca değerini bulunuz ?

Öncelikle bu veri grubu sıraya konur. 40, 45,  75, 80

 

 

 N= = 60 ORTANCA 60'TIR.

Ortancanın Bazı Özellikleri Þ

* Ortanca bir dağılımı ortadan ikiye böldüğüne göre, dağılımda % 50. noktayı gösterir.

* Ortanca ölçüm sayısına eklenecek herhangi bir değerden hemen etkilenir ve değişir.

* Ortanca, ölçüm sonuçları dizisindeki değerleri iki eşit gruba böler.

 

 

C) MOD (Tepe Değer) = Ölçme sonucu elde edilen ölçümlerden en çok tekrarlanan değere MOD (tepe değer) denir. Yani frekansı en yüksek olan değerdir. Tepe değer verilerin en çok hangi puan etrafında toplandığı hakkında bilgi verir. Bir dağılımda birden çok MOD olabilir.

 

ÖRNEK Þ 10 kişilik bir sınıfın Türkçe dersinin sınavından aldığı notlar şöyle olsun…

35, 60, 55, 100, 55, 90, 70, 55, 85, 80

Yukarıdaki puanları sıralarsak = 35, 55, 55, 55, 60, 70, 80, 85, 90, 100. Görüldüğü üzere bu dağılımın MODU 55’tir. Yani frekansı en yüksek olan puan 55’tir.

 

NOT: Þ Bir frekans dağılımında bütün değerlerin frekansı aynı ise bu frekans dağılımının MODU yoktur.

 

ÖRNEK Þ 11, 11, 44, 44, 6, 6, 8, 8

NOT: Þ MOD: merkezi yığılma ölçüsü olarak kaba bir istatistik olup ancak en büyük frekansın hangi puanda olduğunu gösterir. Böyle olmakla birlikte tepe değer: ortanca ve aritmetik ortalama gibi istatistiklerle karşılaştırılarak frekans dağılımlarının yorumlanmasında kullanılır.

ÖRNEK- 2003 KPSS Þ Aşağıda aynı değişkenle ilgili bir ölçümler dizisine ilişkin dört tanım verilmiştir.

 I . En yüksek frekansa sahip olan değer,

 II . Büyüklük sırasına konmuş ölçümler dizisinin tam ortasındaki değer,

 III . Ölçümlerin toplamının ölçüm sayısına bölünmesiyle elde edilen değer,

 IV . En büyük ölçüm ile en küçük ölçüm arasındaki fark.

Aşağıdakilerden hangisinde bu tanımlara karşılık gelen kavramlar doğru olarak verilmiştir ?

 I  II    III   IV

A) MEDYAN MOD STANDART S. RANJ

B) MEDYAN RANJ ARİTMETİK O. MEDYAN

C) RANJ STANDART S. ARİTMETİK O. MEDYAN

D) MOD MEDYAN ARİTMETİK O. RANJ → Doğru Cevap

E) MOD MEDYAN STANDART S. ARİTMETİK O.

 

NOT Þ Vasat ölçülerine ilişkin istatistiksel işlemlerde, sonucundan en işlevsel yararlanılanı ARİTMETİK ORTALAMADIR. Sonra ORTANCA sonra da MOD’tur.

 

 

 

ORTALAMA, ORTANCA VE MOD’UN KARŞILAŞTIRILMASI Þ

 Ortalama, ortanca ve mod arasında benzerlikler olduğu gibi bir çok farklılıkta söz konusudur.

 a) Ortalama; ortanca ve mod’a göre daha çok bilgiye dayanır. Çünkü, ortalama hesaplanırken gözlenen ölçümlerin tümü işleme katılır. Ölçümlerin tümünün işleme katılması ortalamayı diğer vasat ölçülerinden daha istikrarlı ve daha güvenilir yapar.

 b) Ortalama, vasat ölçüsü olmanın dışında başka matematiksel işlemler içinde uygundur.

 c) Ortalamanın değeri ölçümlerin değerine bağlıdır.